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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 m _),0P   
>0gbw6)p  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. OFV $ Tl-  
(M  s  
　　1、三角函数本质： yQDR-T'nYu  
)S+t\)K/  
　　三角函数的本质来源于定义 M8<I6 xJ  
VkawPd  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9 7=cxM  
ZN_I&xpI  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -T|39of  
{KS"v Ht(:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !Z{hA8t  
QkSDknNbtB  
　　推导： M|'?IA+  
hagS=K  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 MF-6XpV&  
olH$aH;  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3KVyiwT  
m<Z5}$E;  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]&<3Hb~[  
1460MJq(*  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ft!_#&?  
4bxalBwp  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Eqj{  
0qPM;cwH  
　　[1] zNIfA|Ixqv  
>$N!nW13  
　　两角和公式 immImB\3  
{wqg4ww"(  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB P7,RCXEm  
gU{ z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  tZe$q"ANrR  
@~\yGWw'NA  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 8h wK4"?  
7d)DT'q  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0D*p+9`&  
>C[QRPJY,U  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $Ak+r82  
2\0d>hIuMY  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) fB4dm dtf  
{TL)z/yeq$  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,ItS*H=zY  
sym;~\/}r  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) x9l,=F)76  
sE)r;Pg (  
倍角公式 1g -y0b?x  
xB@tp>PDo  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~=26n)M1  
<VfTe* k  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Z6iuV$(z  
%o4s.2F  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） c="O}K E  
qb0VTOz  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） A*hbJW  
;2(:(-:3"  
三倍角公式 c[\c7bhlp  
{y 9X}.vP  
　　 }1_NZlE~  
3"4,bhv 0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Da+)TktM  
pGxsFps9><  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) O3qVHZu'  
VIRx%|5.^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 097d/p  
1WL4?[   
三倍角公式推导 :AFrvYmP(a  
rumL]Nn!Z  
　　sin3a )Y]]Wfs  
l,nR+x`  
　　=sin(2a+a) uN5L849L8  
GlW!  
　　=sin2acosa+cos2asina nzREdB  
t/*BhHUX  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "as 2X.  
j<Or6bfc  
　　=3sina-4sin³a danln@  
Pl_A7_OO  
　　cos3a 6sToX1  
F)<wtq?g  
　　=cos(2a+a) mp?^k"<9  
Xa)?(CUp?  
　　=cos2acosa-sin2asina 4[BKXmp1  
%s6x]/ok)  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 'dd%KX:##  
2|ywG&~  
　　=4cos³a-3cosa *ko@oJ*  
L2)Y*  
　　sin3a=3sina-4sin³a e sG5^K$21  
vSj/sM#D  
　　=4sina(3/4-sin²a) e\11J^i  
*b,5{Y%=V  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] q^j#u60D@  
s|T`tsq>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) -8` <HbF  
IC$OU1E{K  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y5G f4l  
}}x1V p/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  ;pR]3  
Krhm| 0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >}^FgkJh(  
q}]  6o  
　　cos3a=4cos³a-3cosa / %v>  
&ub"U?  
　　=4cosa(cos²a-3/4) J ;Hppd)  
'=?JK:  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Pse$jLu8s  
[bb[4m!p  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) b1tG0-   
+3"_|f.9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) H;H:-N\pL  
3hXCeFh5K  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~D&T=SB7D  
G9URx^Q\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) . ;c8@9g  
[lTUAygr  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] -2f1FzMU W  
li xVl (  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] +\e]g  
{z?f0?Rq  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]omy@X?{  
xzK]wlDkT`  
　　上述两式相比可得 7G`w>o_>f  
PbB L*8  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %m5,ubyI  
F]< e-~h:  
半角公式 K _GY }  
^m@PJ "  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); C`[s',z]  
Kt!% 3UZS  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 7}]:d4:  
FO&}(V  
和差化积 S/B.+"=bn  
o ;;-QgS,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cTf$3S  
3s3Lx0:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Sp3b/+oh  
Xz _"b$R:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p<a$t#  
}Mh,Mf\%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o=ne#}R  
=SNk0)Q"<  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R\6#3,  
('SD;iXl  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %=;%=]h>  
g;<s o  
积化和差 J W<TgU  
X9b5H\W  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -MLc+i:  
;Q\Y(:9ki  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (rjuvL"Cp  
;11dyUvl9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] GcS6BpRf  
Gq)l<Aoqh  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :\[&$"46  
_>T-A t>F  
诱导公式 \N!qQqz;  
?{odJ?  
　　sin(-α) = -sinα [JKgU9EA(  
LU?m7W(4w  
　　cos(-α) = cosα PED>>o\E  
B)/~NN~P=  
　　sin(π/2-α) = cosα IdbT 6`wP'  
;]32G&Z(n  
　　cos(π/2-α) = sinα J#)s;S8  
E`Wi.7UmBx  
　　sin(π/2+α) = cosα [QuopppvL  
c Z76Z#ay  
　　cos(π/2+α) = -sinα !t"dKdrdXk  
^k,8_Cgw  
　　sin(π-α) = sinα kFa_6gMHL  
M*YX_kV  
　　cos(π-α) = -cosα ,7}KEIN  
dd(QM,AP_e  
　　sin(π+α) = -sinα 1CBFo6fvE  
u^wHRm\B  
　　cos(π+α) = -cosα g"]fE7Xy  
H 38|d^EH  
　　tanA= sinA/cosA ] dF&!U  
*z7Z%tt  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα <CZ4*R*t  
f$7us9SXT  
　　tan（π/2－α）＝cotα G;hs:  
2N^5 A\8  
　　tan（π－α）＝－tanα !E4 k?:Pd  
x7%P6B  
　　tan（π＋α）＝tanα 3P0da"9r<  
d OesKB  
万能公式 !X[_Ojj`  
ay/%*o[  
　　 Tdeo Jq  
z4sS[5NE  
其它公式 Ca@q: [a5  
B ;(.b?{h  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =xyz?3!  
~^9eZ+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N@eA/ f@B  
OS6 x6Q  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 y[v=(PY  
i1H%u$!X|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7L Db*7H  
TIp)TAzMAY  
　　对于任意非直角三角形,总有 av}#6 M  
SU/NsK0=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC !a83a\  
u7k~^9Z  
　　证: VwMS<U(  
z %]+oA7  
　　A+B=π-C bCEI-_3  
~:|-@u^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) r6O8Y~7$c  
5 oe0iv  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^`Hagtxz  
k^ur!o03  
　　整理可得 g`QH2{jeA  
q?$#em94h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GDfk_uR  
m!#+# we  
　　得证 IuboN6F  
If*KOQ&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 m.IGVn +DG  
4~Z4 -%n*  
其他非重点三角函数 yR kB5%#-8  
 iT(HWKgM  
　　csc(a) = 1/sin(a) MbRImq  
tdf%=Mj/e  
　　sec(a) = 1/cos(a) vMxy_+fm  
&"BFji#A  
　　 E <IMh  
;"o[pN  
双曲函数 ] 6z+q#  
W\f@[jh,."  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W _P$3  
8hA+3M)P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bCgOL:.  
pk\Ui',a  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N=}"]a=  
z+-kI<:39  
　　公式一： nl"RJC\  
Q<y D-'e  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： VP 2ftr  
mH 13Y  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Z .DD}p  
<\!|SgdO~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  g/"A@iN  
v?xasYvs  
　　tan（kπ＋α）= tanα tc\jGs5D  
=~ue VTj  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;sE<J86)v  
 X4gFDb=  
　　公式二： |~j z,!8D  
|2r V}eY  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q`5Ea<TA  
j~C 07B%  
　　sin（π＋α）= -sinα uQiy{i  
|\[V~[,Cn  
　　cos（π＋α）= -cosα &4\X, =  
{C%&QV&  
　　tan（π＋α）= tanα ;h^@ q4P  
CBM@,<l<  
　　cot（π＋α）= cotα }Z+!N(9n  
~s&CV@[`|  
　　公式三： DpTm<  
LI8#} K-  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： m$|k&.U  
JfG22Ku^c  
　　sin（-α）= -sinα 1 v  
=5iY$  
　　cos（-α）= cosα :uZft  
[^<[}  
　　tan（-α）= -tanα zI9lR  
t7 H@C,y  
　　cot（-α）= -cotα [EU9D!.b  
t&iS0x;  
　　公式四： q5WAPl ?|  
^n#s3yG9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： k--|cNR;=  
bxi.:B!)09  
　　sin（π-α）= sinα w[NocGAz  
D&Dq2  
　　cos（π-α）= -cosα k]DAF_J[  
Rz=oxH!q.  
　　tan（π-α）= -tanα _jh: =u=  
i2fbXRk  
　　cot（π-α）= -cotα 7F%1HaO#9  
t27GPv  
　　公式五： f^ JzUVM  
nkwTU'_0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sze_A2V&  
a ((!NH  
　　sin（2π-α）= -sinα ,(8^T3FF@+  
ulW\pO16>  
　　cos（2π-α）= cosα Ep[6r p  
^twS'Ig A  
　　tan（2π-α）= -tanα S M64xEz^  
OiVM >X  
　　cot（2π-α）= -cotα h:KqDhi<B  
Cyy'tho%eJ  
　　公式六： "~! uO1  
+Y3r~  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： HyT6A',  
29 D^O3  
　　sin（π/2+α）= cosα V_(8b'wqF  
u+KBkg*I  
　　cos（π/2+α）= -sinα 8)M^ UZ  
i2D7R[-A  
　　tan（π/2+α）= -cotα  =zqVE%  
[UHIU.B  
　　cot（π/2+α）= -tanα 7bZv1d.c  
 VLLE2D  
　　sin（π/2-α）= cosα ,qR lj 6mG  
nqZm-Qbs  
　　cos（π/2-α）= sinα L\TGQ"  
*s:hA P  
　　tan（π/2-α）= cotα ?F8f| +>K  
Q05fwmeR  
　　cot（π/2-α）= tanα J3V* v-$g"  
p}"bM"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα <voqDr(  
.NK~Blx Y  
　　cos（3π/2+α）= sinα bL];Bs^P  
vJy`@6  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Hs!]v Us  
#!u8 * 1;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα =BM ?\W  
^R2y>$t<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα x?mmG!  
%7n 'z1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα f=G*2  
1]TaypA;J  
　　tan（3π/2-α）= cotα 98*+Dzw  
.q jzVuu  
　　cot（3π/2-α）= tanα mmHEl^Q|1  
nfODI@m~  
　　(以上k∈Z) n8m7pL \}  
{!V3})  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 h #Ou/H'  
BkT xMN}79  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qsr,Vm  
Vn>nT  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } J>AO~-  
.0.<'XmzB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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