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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 x>So7:M  
 AIc /  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. CXz"A#  
g5@[vK  
　　1、三角函数本质： -YDt@ {  
;Z]zpW  
　　三角函数的本质来源于定义 DPDQ6M]  
r _^@tv  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 55"8M,aq  
j*.Y`]QQ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 e|h0Wd$r@f  
&Q-!ZTt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Av!!|0$$  
IivyTIS  
　　推导： z,[_NF  
]-P[*f^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,1Wf9oIf  
_+JC kI:@  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) `tCL;?}U  
~DkvyD%r3  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gg;z#Uu/  
a5-a m?  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5?]MX6)  
<u> Us7Ar[  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )AL`;?#  
o ;;gYWd  
　　[1] Y2shQ7  
-H04MM/eR  
　　两角和公式 _2ZG|W4  
'2Lz.~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  hL"*+6  
!j~1wJ%(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7#QEJ+  
IaX2 M?  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB P^oq,(Kn  
WIku!C2  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB j<1^|-#2S  
0}}%ttM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =' DrBE{  
XzB.!*7Y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) AR,n@b3\c  
e/^|#~*gi  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  G?c403  
4{&k:vjD  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U'"3#q""G  
EC.#'2  
倍角公式 jQ#7^,bG  
|C GZtNv  
　　Sin2A=2SinA•CosA [j<>xnug  
x_p.Se<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 JI?#Gvm)  
q.>HeD.:P  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） H?hi+6@|fu  
>yiJLjj1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） dL{1TYh$mF  
7|cd h8&S  
三倍角公式 6&Ma1c_  
T- oFK5Wt  
　　 I7)i.=h  
(H|R sUo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Y3:H0 e  
p6:)q_!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [X)'J=#j1  
IfvfLTrnX  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "q1C'&o1  
.{HE ,qSu  
三倍角公式推导 #5=,} x@  
y54.#f  
　　sin3a 8';RQb  
): \$Zl  
　　=sin(2a+a) +JzB;`r3  
_}h2>9& %  
　　=sin2acosa+cos2asina Q-Mrb~S9O  
7C9>qZ'  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina FW@@e"9}  
i'h:1l,FV  
　　=3sina-4sin³a 7n(]ttb S  
#}>k  
　　cos3a >he" x  
, 2v.[)  
　　=cos(2a+a) hJNS'=  
'W[+RU e  
　　=cos2acosa-sin2asina &9j:I%M >\  
W8xu"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4';"y  
RAgN:]o2  
　　=4cos³a-3cosa 5iz V4hG  
s`vhb  
　　sin3a=3sina-4sin³a vv5>:*'  
rz[+irY*)  
　　=4sina(3/4-sin²a) y&THg/X*J  
fQ,;@ Q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  Waww``  
Sx*FyM8N  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ?5OO3Od.93  
C4nB/  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y|CZ*>:cE  
 -9(RH<y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [ Fb J($  
$/ W@V  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) B#:SO  
;1r,SpG%_  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 4WX&*Eh  
d?W[/97k  
　　=4cosa(cos²a-3/4) F"VTu%0B  
'ffIcA*Z}L  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3hX2w#  
UV%jjs|E  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "BJUNG8  
Z2m^Q qS7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) V ^1+1oP  
t$= hqc!9  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} j\JPBc  
~]wl@h  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +5[/, !,  
^1 C0e  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Kk"|&!58#A  
?(W k ?=  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] STP;  
<I(#>R'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @MN-4P  
:u&OG  
　　上述两式相比可得 n:9}hBw  
2os|QOv~a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /g"s(9B  
h\ Vw)_2z  
半角公式 jg:N#-  
B},jv#aI  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); )^ZF=C_T2{  
HI*\o  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. q "y&.   
9@T:@ en{  
和差化积 TT}L'Xa  
Db} |! q  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mmnZg@kL7  
q" O90  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >*M #F%k  
S]R4[e(i  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qq!2*  
\5<!Vcf/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FGkVdF[3  
/E L5v  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) |G652>^x8  
J-',\[HB  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) :gkZ3sR  
fK>jk.  
积化和差 I54N  
Gb~k.G;j  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ZCl}sd4Cg  
x$jKD X  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]G ) a9  
4u?0GsmAw  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] f\u !:pL  
]h[A%- o&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]m$~z5zC  
}jrVAf!Z  
诱导公式 !3+KQYDoZ  
<Ta,t9  
　　sin(-α) = -sinα B%nj6$M5  
cIxrQ^e  
　　cos(-α) = cosα <4\ r`mdI(  
c^:xJ+mLq  
　　sin(π/2-α) = cosα JB!Ok:E&g  
9Uj /(d  
　　cos(π/2-α) = sinα Fv)V}XcB  
U] Qm~2,  
　　sin(π/2+α) = cosα B+p4z5Qao  
Wt<$+R  
　　cos(π/2+α) = -sinα wBI|M{=v  
f7eKYh:h@`  
　　sin(π-α) = sinα 1Sm 6}~2]  
RGR= Irf4q  
　　cos(π-α) = -cosα -Q< yX i  
wo&XW^ F  
　　sin(π+α) = -sinα q{RSZ'#  
%ZX}$~8  
　　cos(π+α) = -cosα HZrKB'J  
yh1'.nI  
　　tanA= sinA/cosA l8 |N^A  
p7#NjU  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Y;8w~WED^  
iqt#U'?  
　　tan（π/2－α）＝cotα 3{p}yfU  
h+e l@"+  
　　tan（π－α）＝－tanα d8C.Ud5W  
A%tM{SvK  
　　tan（π＋α）＝tanα UMUYGx&:  
^ZC|Tsh  
万能公式 sLKQbm7  
$/R"Fi|m  
　　 +d|vM-$-&b  
G| 3z\/k  
其它公式 oK~mqIH_  
|( F6 G7+  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (q5 l /9  
vOSYTn  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 3` oAY|+t  
A 0@wJ,5_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 q\L=+9'  
!a/N?po#E  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /%s_kK  
";4jrn`  
　　对于任意非直角三角形,总有 w!Lfj P8\  
bT zMW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t*>wI40'  
I/p!@hyWv  
　　证: ~fQNTj:D?  
ID7kD#  
　　A+B=π-C [(P,VU))  
/9WBo 3  
　　tan(A+B)=tan(π-C) D.Z [x  
QDuvGU  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 9f%]m6E&b  
r~+r{  
　　整理可得 S_cn<Jsg  
A:78< T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC } t~$ \?  
d;( `/-S  
　　得证 KpNDXL%5~<  
2q V$ O  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ?:?7;LlQ  
:*q\W*  
其他非重点三角函数 e}`1Hpqh  
UZ{vb{.1  
　　csc(a) = 1/sin(a) {<U npFez  
@uKJ`  
　　sec(a) = 1/cos(a) \1(?or  
)(P0n\  
　　 ~ % [U  
PG/9SDg  
双曲函数 6v h# h  
{/ WRGu  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 wgRzEt>l  
zFMU &U  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 SjN3N oCY  
Zrg]`}k~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) NcwM3X  
e/)4  
　　公式一： WMN/'g*g  
W[4+# \cB  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .J i|  
a;JY0"$r8  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 'rYjlc^O  
c4O^ ^(&BC  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >8}}<}dg>  
Z`q{]Dj  
　　tan（kπ＋α）= tanα eG.F&cNdp  
R=h $'A  
　　cot（kπ＋α）= cotα ([-Tgd iXb  
!C9_[mMKW  
　　公式二： L2+(}/7<`  
U2o QkC~HT  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： UXV]nd3  
v'"8f_Av}  
　　sin（π＋α）= -sinα y 7 0Tm_  
vDq6R+4#N  
　　cos（π＋α）= -cosα &sMd] +  
fpG{Xv'@  
　　tan（π＋α）= tanα nE+V+$  
`dg'dZ  
　　cot（π＋α）= cotα $P1xaO]K 7  
,=Q=Chf"1S  
　　公式三： /&q,4"E  
)9 jz;"V  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： L*c 2#Y'R  
('0P> **"  
　　sin（-α）= -sinα k=Gw`i5  
c*FFQ$  
　　cos（-α）= cosα z'tei]Ik<  
x|dD 4  
　　tan（-α）= -tanα v>[[S~X  
n2].{=Ro  
　　cot（-α）= -cotα !f,2M  
\Tl93m  
　　公式四： m( Dr9  
.%{TJP&)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +SU4'b  
m q(.1 V  
　　sin（π-α）= sinα zEkI@+M b  
(RR01(I  
　　cos（π-α）= -cosα ky"vT$  
iA%q6<_b  
　　tan（π-α）= -tanα -qq<^MX  
wX N^ota  
　　cot（π-α）= -cotα %nwv0NYsb  
XJJ/J;]  
　　公式五： P !dx6p  
p " >my  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： z\ut%R  
`U~X[iU!  
　　sin（2π-α）= -sinα U8?y4XM^  
M p9rWG  
　　cos（2π-α）= cosα jZO:pXj@  
*rtiq;t  
　　tan（2π-α）= -tanα k S-~?+B<  
\O$ a,=  
　　cot（2π-α）= -cotα r"y} 9\  
G]u8g}} <  
　　公式六： m LOZ]  
a)]-*S8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： H `%>,GCd  
I SIns]|  
　　sin（π/2+α）= cosα >?/$K}&]&I  
UFMi;0cvzp  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5L5II{?E)  
82680`;*  
　　tan（π/2+α）= -cotα  bHFI  
T&[ V*"i  
　　cot（π/2+α）= -tanα K-WD1%i  
<[+_q5VrP  
　　sin（π/2-α）= cosα s2@$O=u$@  
BTI}H T=%  
　　cos（π/2-α）= sinα g^|'BCNi  
a5X@Cg  
　　tan（π/2-α）= cotα gnXn 4 Ks  
E" ^(nYcoq  
　　cot（π/2-α）= tanα X3"V {  
M-uH[(  
　　sin（3π/2+α）= -cosα YfYp7fDu?1  
haYMj~8  
　　cos（3π/2+α）= sinα zF+&^5  
$U>7D6(*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MImvPB&91  
W7zVC_t*  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dfylKPVxH  
w:.!C A  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Xh}i_;RT  
Vb.DdY$*e  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,|,R:.  
~ZP,qaT  
　　tan（3π/2-α）= cotα $J,A + BO*  
HgD !qez  
　　cot（3π/2-α）= tanα Q&6GGL]T4  
N#m ]f]&  
　　(以上k∈Z) }#$LDH"  
6 ';R# A&  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >rH-Pyq(-  
>{rg\@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = YU}1,L  
E- 1rKb  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ](E}'5  
}-u /$fE U  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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