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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 a6Tbf1}3,  
v/ H~@*9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. c1[p{!G  
ipu#0VH8  
　　1、三角函数本质： tlv 8bE-=  
ad y>.4  
　　三角函数的本质来源于定义 p T "-E  
^<U5 sg-D  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8L:^pj  
^i#Yn}g[$|  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 N?@aq ]  
>NV@6_ u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~Q'Ju8 1  
lXg(y}a0P}  
　　推导： yMKX.4]  
JHYP_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 l8Lcf0.  
GbNY`{8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) rG_8So<  
nZp{Uj`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qBJj es @  
Zmd40\  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 F ^)2Zu  
TzOzs1  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） yl' q,?bE  
L"$&Tef  
　　[1] PFl 71  
g*N$z=aS  
　　两角和公式 7 I~$0  
+}wtC4Z8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB A1u.Kq3Lw  
+y2 L~Y  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  a!] _Aw5  
eLV 6s4L  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB t{LF   
K&'2|\.AU  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +\ _  
pb~G%';:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ?~E+  
+ gq!O,  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B]R.cWm8  
diy Ty5If  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  GVm;2{T  
=B8 m'}  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J {Buea;n  
Y}Bkt(y-  
倍角公式 ZZvte;nw5  
x/TuYc=  
　　Sin2A=2SinA•CosA xU9@J~:s  
&?wR$9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 i)A0L  
z0%r-4b73  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） i4YRM6. ?  
?{)Dl<`w  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Q'%T;NfS  
Sw$~o5  
三倍角公式 +,gzFKr  
O/ xmcK>  
　　 h5 `p!(a  
fg+$hXTc  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -!{HTeQcF  
0f*%nQg`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jJM*P&wD?X  
g2>W+w-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p4\[ =Q~  
Dc.slj6  
三倍角公式推导 18)MIM*Tz  
ap|l@l|  
　　sin3a q ^#Q,-1  
c^ =V{=}  
　　=sin(2a+a) l M=u'   
"3dk#q  
　　=sin2acosa+cos2asina P" 9 v[n_  
8'RVs{f  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ZCl   
c8DzLU}H$  
　　=3sina-4sin³a P$|yHy-  
H468~|  
　　cos3a Sn~XlT1`_  
L9}?\zV<]  
　　=cos(2a+a) C"A[bf*ovn  
R'S1(K1C>  
　　=cos2acosa-sin2asina t_rFaZ3u  
4*$(MEs|w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Zo3k*R^  
fxI"BSv]J  
　　=4cos³a-3cosa Hbp;[('db  
-|kZy<WkN  
　　sin3a=3sina-4sin³a ZhT=[{R  
t6r[$/YP]3  
　　=4sina(3/4-sin²a) +'"zQfqt  
YZOUa  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]i6-W4my  
Flx4"tXW|  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) gRl{N3_~  
i:u,Eaj2Kt  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) VapFk~blv  
'#g5 ]vC  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1(ff(!/I~  
xw:9v g  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) DXPiyl_  
P QYTmTQo\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <_!`.d<W  
dBz^{4"j  
　　=4cosa(cos²a-3/4) +_"*f:~  
?nl<FX$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \vZ tk9  
$PhZn{VL  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) x%6Sf@v8  
(&-M#Ez  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) s_^Fy*{  
Ar-$6 %_B  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} smv[@  
3)F^tfqZ  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qjyp>qn  
fF!C$  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Y[vg 4"@+  
SNc0RZ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Fq^]_+;  
%XW Q[*O`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) V6]nK{8  
N??<J8&-B  
　　上述两式相比可得 ,`C~+*  
9A<x~;z5x  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) s76zU;|j[  
/h/ ;qEA  
半角公式 eZX(QOB=l  
4 V_vcP  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2C*9""EO  
-B'#CLr,-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !&T2_6WJ  
,+K,_/lMx  
和差化积 H2|!o|M^@  
z]&B3m  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Az mX1)  
ghX?uv=I  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `w@L{*|<  
/EJ!7xcb,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Io(_X#52  
Y)u#!Z8 N  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] d%z6HSB!  
1xq{%(  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  a%}$;)  
^ ?k4~5A&  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ynbWXMA6  
1f)j$NR1  
积化和差 Fz=)*fl|  
9W"d*7M  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] pQwWQm 6  
u$\!c8|HD  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \ ]PAZ h}A  
hD4*G4-`l&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] m5 J !3!^  
nR{LA|e  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 'OKc}HO  
1C}oa"PNg  
诱导公式 unP{k+(E:b  
YvGG3ab?  
　　sin(-α) = -sinα :!!j~3H6}  
q4p67%Ea  
　　cos(-α) = cosα rGJ\*.Eu2  
9C>K=9  
　　sin(π/2-α) = cosα S!PbiK4 O  
Vb@;o:`Q  
　　cos(π/2-α) = sinα iBen)  
K^ ;;ah  
　　sin(π/2+α) = cosα nr'Ge[J  
% s 9   
　　cos(π/2+α) = -sinα b3*RTo#]C  
\z}g@`A  
　　sin(π-α) = sinα 0XB RBah  
)T0v1?e'  
　　cos(π-α) = -cosα :!2CcPs^  
D0D8o   
　　sin(π+α) = -sinα mej.>_  
LsvBPVVO  
　　cos(π+α) = -cosα ~SJ.1hT  
.dMD=nw>  
　　tanA= sinA/cosA C3:=tX{3H1  
o V>>XA  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα !hV_!)"  
>z;.G  
　　tan（π/2－α）＝cotα mUGa{3^4  
}N fq_n"  
　　tan（π－α）＝－tanα c| pqi2/  
y'pRuyfQe  
　　tan（π＋α）＝tanα Ulr ih[n  
i.}8o#  
万能公式 C\ y8af3  
hl2t&Gi`  
　　 k$)vQwS  
jm my!:&  
其它公式 L'2y &  
}PwNhKH2  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  b.r"8 X  
x7Kq]cD16F  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 K ,IFQ  
ez{`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 mWy0F%5  
H1S#I mP  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 QR1TJ:I  
(:JSC13  
　　对于任意非直角三角形,总有 tq HW a?m  
Q$&_7I;w  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <j5v2fbS^  
Q5`/)`-?c  
　　证: 1, qPH_E  
j]* c  
　　A+B=π-C 9VN2)  
w[S9\]V'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ]%Ok @M}  
8n<!^N-!V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) rknr '2  
25^gCrW  
　　整理可得 Y7k+![NTl  
$TK, %g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9g@l3  
0U=)m  
　　得证 artLV~bt[M  
FHWb*2dq4  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 C.Kq/nV  
DQ~v7'a5@H  
其他非重点三角函数 1a'\|>a'r  
 ;*%!x $  
　　csc(a) = 1/sin(a) G//BtQso  
5.b'FUru  
　　sec(a) = 1/cos(a) /*&GPi  
uU+z DkMz  
　　 ~j6\U">iH  
'5%)lZ#  
双曲函数 I{?v4^:@p  
X$QX( o)  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 05E\_@Qm  
?Z!" F%U  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 sF,T "  
@{ag1/qz  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) h*2H+\&s  
lUJ(73A  
　　公式一： ~Z8^paTg2  
b Q{=#1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Br '.=PvK  
ST :h3=tXg  
　　sin（2kπ＋α）= sinα K"J6&D  
Qx2 V  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Tx|6[2  
kf)U& Qp<  
　　tan（kπ＋α）= tanα S/m%EBw3i  
At0a9X  
　　cot（kπ＋α）= cotα WK <Mo/>u  
f~bG03f&  
　　公式二： BU(Id b%j  
X@"F$'l-  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  dTV"6Fm8  
3rZ yOG{  
　　sin（π＋α）= -sinα Q(L7VK0R  
>!-**aM  
　　cos（π＋α）= -cosα ]lc[>L >  
Sa FnW}$  
　　tan（π＋α）= tanα 'dle@$&  
G_U`uM:b  
　　cot（π＋α）= cotα #lN4ei  
; #*49mf  
　　公式三： RvLW6G$  
J!/. 1NX  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： NrLi\0k([  
x Fk4[%  
　　sin（-α）= -sinα 0k%yyAGV  
X{ZbRZe   
　　cos（-α）= cosα SZQ%]ch4  
bVTB;](d  
　　tan（-α）= -tanα }4s)|kSkx  
(3DB{|  
　　cot（-α）= -cotα R ge&8dd:  
L5@.X1KF  
　　公式四： fD}S+s9J  
-CDbJ9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Wu)k-G+f  
cbo_i6}4,  
　　sin（π-α）= sinα ,NE1BM "  
P$sJ2>^  
　　cos（π-α）= -cosα Z#eLu>,e5  
s_^ ;k-'|  
　　tan（π-α）= -tanα B5fZ|IP*k  
9W RD NI  
　　cot（π-α）= -cotα W(4A4[LXz{  
QCM=%iEw  
　　公式五： ]T.AAwLt  
9N)oHu%/E  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： DvFa(x$  
@J-JsCz>I  
　　sin（2π-α）= -sinα B]aWp  
hVL   
　　cos（2π-α）= cosα oKSqRw ~  
{H*&P`d*  
　　tan（2π-α）= -tanα ah 8DC\/"  
fC$Hbov1  
　　cot（2π-α）= -cotα Yh'2ycl\  
Zp&lbImF  
　　公式六： Rvwqj_/<k  
JgP hR w'l  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Vezs {u h  
qJzS|6*  
　　sin（π/2+α）= cosα "ddYFcyZ  
Xo}&@$G  
　　cos（π/2+α）= -sinα c_FYq  
[ x6y _m  
　　tan（π/2+α）= -cotα J?zPKJ [V[  
@D>E M  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9e_v8eG  
r;A JHy9+  
　　sin（π/2-α）= cosα =~OqRuc/[  
%7bRK*2b  
　　cos（π/2-α）= sinα p[m-]G#q_  
<jF[N\  
　　tan（π/2-α）= cotα  ,>us0Mz,  
9$L^Js  
　　cot（π/2-α）= tanα 8E#ck|rO  
hD[Qnf_  
　　sin（3π/2+α）= -cosα RJCkOx-  
i*LS*a  
　　cos（3π/2+α）= sinα D>|Z`tgz7  
1{u>/B1x  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  yA7 78  
w32&RNuJ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $C 8_Ff  
 /bq;J  
　　sin（3π/2-α）= -cosα {o*F0aKV  
y&^p(z<V  
　　cos（3π/2-α）= -sinα A]C py}  
;w9kz&Gf  
　　tan（3π/2-α）= cotα _P<`VRA6*  
[pwZ{[&  
　　cot（3π/2-α）= tanα Uv#n@X/mA  
UT6sk &=Kw  
　　(以上k∈Z) cQ2\A,bT8  
UvL~DZ7~  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ME0%jyICy  
4HqDz\&5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  6(B<74  
1(~IK*j  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5Cf^Bze]X  
FU Tgh8h  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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