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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O9~i  
 Y*LE1B-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. weq"O'=R  
fb?]jp  
　　1、三角函数本质： )'*!OU9E  
#*,<DhR  
　　三角函数的本质来源于定义 \0<R'%B5  
Z4DmQ87^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <VGd3[-3  
q /: 9mg  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K{6HWM[  
P]t']Y ^\P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： A'Bb$.d  
-kaq]Kx  
　　推导： K+MkSEe  
nd/vP1Ekx  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Xl@ <  
'Ap_6@jU  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1"lx\ol<  
 _Af* )H  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) wX3g)JF&  
jb[t(P%I1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 a%bUIN:K  
f3PbyL  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \L`` 2@$m  
t OzZ^ i)  
　　[1] ~a j$^  
$/i b O  
　　两角和公式 cMfb>2gzC  
LMmDVEm8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Mc&4r~O=w(  
79~k$%!^4  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  o0Y N8d_'  
'p9g5 l  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB C\j/@]K6a  
/iYMW`_  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB oUuvZ  
bBL%dYw,h  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) U{CV+Qxu`  
v;SFm~tnE  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ig~:D`W35  
zB3K  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -gZU!4{vu  
u"7+u=GJc  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) NkTl 6)5'  
lp[Hpyh  
倍角公式 <:J~q|l%  
dN=F{)y  
　　Sin2A=2SinA•CosA Z L8Y'~l@  
/c-]<>oj  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 y2$j}10@&  
]=(6@4W  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2: \&-  
<7ordnR  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2.'_eXE2tN  
YrK'mJJ  
三倍角公式 WO>;}>D:  
Y@; df:  
　　 ]I)*~  
2s8H7_W)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "Z8`vAc0  
\=\<<!b=4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) X=bw;D (HN  
;E^`5#2ID<  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %k@hx[  
I{R/"u  
三倍角公式推导 "CaK^[  
Q1tJS77dut  
　　sin3a pX;`jh n  
/Ehx9N  
　　=sin(2a+a) jfw*s~<  
5e+6$^[i  
　　=sin2acosa+cos2asina Hu :1L*Q  
##kYZ1Dz  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina z/3DPiv;  
;&/ni L v  
　　=3sina-4sin³a *lu6Ds  
J['2[4q  
　　cos3a h#ZY,.09  
pG #  
　　=cos(2a+a) t3E/75u  
RIP>&YTd  
　　=cos2acosa-sin2asina $IcVyb,k  
CDR&CJea0h  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  cYQYm1v  
zZW "[=  
　　=4cos³a-3cosa 6^zE)P~  
#I";Un#T  
　　sin3a=3sina-4sin³a  aC;}@  
4b\oLSH|4  
　　=4sina(3/4-sin²a) fr*b0dA~  
30hnyZ~s  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AwD(M)hyjV  
5TjBOBJ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 4Au@y   
Bkz\ 8%L  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eWDEhJ%_  
3s~HtW',k6  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :3jDy3mf=  
5j4M|d#S  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) p,^"A+@k  
v&_m|$ Rs]  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i&KcuGU[  
9T]]oSPdL  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _H[z[k/  
KO E|uT_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] lk=T/  
YW.&^yaPo?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) w?z#4U{?  
s8sC(F  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) EW2m6Y0  
sk -?I  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} aX)`#; / +  
)-,](p'IEs  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) EXhB}](]k  
F<dzr@E"!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ezu\6 tB  
6aJ6uli  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] K(=<.=2M  
TKWV]xcu  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ivCe|  
Zs!B?<#@4  
　　上述两式相比可得 s/iQNax  
z ;\^a|db  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B6PyX( df  
XKfR;kj  
半角公式  @|u#5NnI  
yNXC1Q=  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); e]yB1dEhGP  
@K6VG}vO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. gtbY Wm  
5Z v"`   
和差化积 ^qT^I"Pr  
HbBXpYHg  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1@Hxckwt  
I95uL V9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g]&fTimRF  
r{(YE#5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] x6`y/W  
z@g@a>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "1pwFMM %  
o36=4 l{O  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) PncG-hWf  
IAdvr4dc3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1b@ |UJcq  
:nN$"X \  
积化和差 [uy'hj g  
EK5~3_v  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] TR6=<[4w<  
(pJ?>ad  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] /=u\uHx4  
x^V|c5#  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] AEcU) H  
F4>)/y  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] / H <l&l  
;tH9qES  
诱导公式 am4d0~O  
)&q.L(+_g  
　　sin(-α) = -sinα 4: <,38A:  
b.LI*^NS^L  
　　cos(-α) = cosα D(}| |{  
C)[k(GgF  
　　sin(π/2-α) = cosα =CM$y I  
>IvEeB/  
　　cos(π/2-α) = sinα pxO #Zi  
*Z_b6zL.  
　　sin(π/2+α) = cosα 3SW~yDV=@  
xu`$hpR}  
　　cos(π/2+α) = -sinα 0 ? fOtj  
`YpkWNOn@  
　　sin(π-α) = sinα d`yxb  
2+\AXP <  
　　cos(π-α) = -cosα IvcoPrdB  
For3;: o  
　　sin(π+α) = -sinα Xluvfo  
=4r[{JDQ[  
　　cos(π+α) = -cosα #Fi;F2JWI  
<2]C>j\MK  
　　tanA= sinA/cosA h,L^,n8  
ZB x$=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 8;je '=  
6 E.7o= +  
　　tan（π/2－α）＝cotα <tAJGc*M  
LZ~?vr@   
　　tan（π－α）＝－tanα jrz(AFnqO  
L2)wU:&!|  
　　tan（π＋α）＝tanα 4%3zJ&s*D  
i# u?-  
万能公式 Ig~NDCp_  
'*+yDkze  
　　 .?(:Ls q\  
`+]Esg  
其它公式 ZC^U=t X  
T2z,+)q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0f@u3*L,  
fHBWU.4:  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Te/t!e+X  
/}H~xE:R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 wwty8s,p  
7:.vO&.<Yq  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 q/GiZ^, -s  
)*)RMvC}  
　　对于任意非直角三角形,总有 jtj [;  
U;4Ji  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7|c_  
|-Co_F;;R  
　　证: k/8{?y>"L  
_'o&W>b(  
　　A+B=π-C loMi]qt  
kNoIh^f  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @{K3%9  
^|:9+vV  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) S`(vG^'$  
h^ +UL I  
　　整理可得 DU?09  
L3!;gv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (5dG2$^V  
UNA;%y <  
　　得证 F[|qs$ <  
Ma61CI+A  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _|\q5B`}<  
aSL?!s  
其他非重点三角函数 <[W u@Z_  
KQ1:,JG  
　　csc(a) = 1/sin(a) @GK*D _nY  
1xg5v+E+  
　　sec(a) = 1/cos(a) t,uT J[  
b''6ql`78  
　　 sv4Z}1A  
v pNoPA}K:  
双曲函数 @<i|$jw  
muH!J|A   
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 u`!a3Z1ah  
v~f`A&o]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 68IHR5\o  
r3u) !  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) s xKFEB  
cs&J$NGLV3  
　　公式一： acrt)40  
XnKFDQ cO  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： C'$<e}D7  
oC,2HG^s  
　　sin（2kπ＋α）= sinα bK7~4M{  
2'@'}9r5=n  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1Ur3G1s @  
Fxfv;Wx+b  
　　tan（kπ＋α）= tanα dYK|YZW(T  
~%sD #bc  
　　cot（kπ＋α）= cotα Ml.U9  
<~zqnJ>AGg  
　　公式二： M>k1wa"F  
H=6)pi 5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： jp2XT3uY)  
'E{4?{y  
　　sin（π＋α）= -sinα !+:DzeQrrb  
3U;kiR  
　　cos（π＋α）= -cosα 1^v ="}  
k=d[ 6  
　　tan（π＋α）= tanα f#Qip<  
p1+J%  
　　cot（π＋α）= cotα Dd%N8PeT  
M1ZM;9Z  
　　公式三： i o%| U  
\<&G5)1H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： z( 1\EN}  
wK-m(9z$  
　　sin（-α）= -sinα xkc`KJQ  
# dLIL_P6  
　　cos（-α）= cosα X4Y~q"Q  
FUFtrN:N  
　　tan（-α）= -tanα <$%zT),n  
Iwn sg)4  
　　cot（-α）= -cotα s }ZUh)5;!  
TMA7NrSr  
　　公式四： uK14Q5(>_  
N>nO<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r O5)N G  
4Vl-V))Tf  
　　sin（π-α）= sinα "5#I_Hx32  
Ddw%G8g<=  
　　cos（π-α）= -cosα a;T+i'1  
%AYbz1  
　　tan（π-α）= -tanα 9u#! N%7  
3~aoU!ut&  
　　cot（π-α）= -cotα Yf?+f<.|Gk  
i|g{GD_{?  
　　公式五： \]oxc<w,0w  
(K/x3 r   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  Yp;AcuU  
]:J<h9 b  
　　sin（2π-α）= -sinα <2NfE_  
%|lm(L E  
　　cos（2π-α）= cosα Ix+q\LU  
5%~y< L  
　　tan（2π-α）= -tanα '8 nd\Q>2  
>HV:iS[  
　　cot（2π-α）= -cotα R&70S<J  
6@IVM7  
　　公式六： 7D@w(  
s#PzmB[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Az hE /w  
|p0^OkPl%W  
　　sin（π/2+α）= cosα A>/6]  
;b.fx^c*  
　　cos（π/2+α）= -sinα JIJ6"^MG  
>CCyi e &  
　　tan（π/2+α）= -cotα D4Rua|  
[O+ j~r8\  
　　cot（π/2+α）= -tanα K"q; LWMc  
g%[<2k:  
　　sin（π/2-α）= cosα ~.&}x_n#O  
6)dD/>Dd9  
　　cos（π/2-α）= sinα /Khlr?y[5  
[v9 v2d  
　　tan（π/2-α）= cotα Bx# 9i0 {  
w:C #$  
　　cot（π/2-α）= tanα 1zw8UcAK5  
fRo)b~YiH  
　　sin（3π/2+α）= -cosα U7XH1V=  
+*dKUvmeN  
　　cos（3π/2+α）= sinα x9i x<YQZ  
LW2OE~GOc  
　　tan（3π/2+α）= -cotα CoyWawAJ  
UA8xJx,  
　　cot（3π/2+α）= -tanα <p]u py  
[Dda0 )Z  
　　sin（3π/2-α）= -cosα E466RXUBJ  
gPM]q8]'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα teG[a  
T-'q@%  
　　tan（3π/2-α）= cotα }M -2  
5w{v71~  
　　cot（3π/2-α）= tanα S?OI^kwk  
S3>vK o  
　　(以上k∈Z) sU#ZL*  
9^(?xAZd  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 cj(WE  
- 4;N!%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = m`Q^F>1_AW  
DPOoxvQI'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -atY?n  
k2iekN9  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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